Matemática y coronavirus

Por Marcela Bello | Universidad Nacional de General Sarmiento

En los últimos meses y ante la aparición de nuevo coronavirus COVID-19 diarios de todo el mundo vienen publicando en sus páginas (de papel y virtuales) artículos sobre modelos matemáticos que predicen o pronostican el avance de la pandemia.

¿Qué tipo de análisis puede hacer la matemática para enfrentar pandemias?, ¿qué variables se toman para armar los modelos matemáticos?, ¿cuál es el nivel de certeza que ofrecen las predicciones?, son algunas de las preguntas que respondió, virtualmente, el matemático Roberto Ben, investigador docente del Instituto del Desarrollo Humano de la Universidad Nacional de General Sarmiento (UNGS).

La entrevista comenzó con una aclaración: “Hoy todos y todas hablamos del coronavirus, opinamos y compartimos información. Pero tenemos que ser muy cuidadosos con esto porque circulan muchas fake news y no es nada bueno. Así que quiero comenzar aclarando que todo lo que diga no es más que una opinión personal desde mis conocimientos de matemática, las únicas conclusiones y recomendaciones que tenemos que considerar válidas son las que hoy da el gobierno: quedarse en casa y cuidarse respetando las medidas de higiene”, dice Ben, una horas antes de comenzar a dictar clases virtuales a los y las estudiantes de Análisis Numérico.

- ¿Qué tipo de análisis puede hacer la matemática para enfrentar pandemias, por ejemplo, la actual pandemia de COVID-19?

- Una de las especialidades de la matemática aplicada es la modelización matemática. La modelización es un proceso que involucra muchos “momentos” que van repitiéndose y sucediéndose uno a otro, como en el triángulo de reciclado. Frente a una situación real, como la propagación del coronavirus, se propone un modelo matemático, por ejemplo una ecuación que representa la evolución de la enfermedad. Este modelo es analizado desde el punto de vista matemático y se sacan ciertas conclusiones que permiten generar predicciones sobre la situación real, en este caso: cómo será la evolución de la pandemia, cuántas camas se necesitarán para terapia intensiva o para cuidados paliativos, etc. Esas predicciones se pueden contrastar con la situación real, e incluso permiten modificarla, como cuando se declara una cuarentena. Esta modificación afectará nuevamente al modelo matemático, que tiene que ajustarse a estos cambios, para volver a sacar conclusiones.- ¿Para qué se utilizan estos análisis?, ¿para tomar medidas sanitarias?

- Las conclusiones que se obtienen de los modelos matemáticos permiten tomar medidas sanitarias de forma racional, entre ellas definir si es conveniente continuar con el aislamiento social. Algo que es importante destacar es que los resultados de las medidas sanitarias no son inmediatos. Por eso, a pesar de que ya llevamos diez días de cuarentena, la propagación del virus sigue siendo exponencial. Muy probablemente seguirá así durante algún tiempo, porque la gente que hoy está dando positivo en el test de coronavirus, probablemente se contagió antes de entrar en cuarentena.

- ¿Qué grado de certezas puede brindar este tipo de análisis?

- Yo no soy especialista en el tema y, como dije al comienzo, estoy opinando desde mis conocimientos de matemática. Creo que no se puede tener certezas plenas, pero hay muchos especialistas evaluando los datos que se obtienen cada día y haciendo estimaciones que permiten evaluar distintos escenarios posibles y consecuentemente tomar decisiones racionales. Tenemos que confiar en que las decisiones que se toman son las correctas y respetarlas al 100%.

Los modelos matemáticos utilizados

Uno de los modelos que se utiliza en la actualidad para representar las probabilidades de contagios es la función exponencial f(x)=a^x. “Este modelo funciona en todos los países donde se aplica. Pero, la función exponencial es un buen modelo a corto plazo, es decir, en general predice muy bien lo que pasará en los próximos 10 días, un mes o un mes y medio, dependiendo del lugar y de las medidas que se tomen. Pero más allá de ese período de tiempo, comienza a fallar y hay otros modelos que predicen mucho mejor que el modelo exponencial”.

- ¿En qué consiste este modelo exponencial?

- Olvidemos por un momento el coronavirus. Agarremos una hoja de papel cualquiera, supongamos que es una hoja A4, de las que se usan en las impresoras. Esa hoja tiene un espesor muy finito, digamos que mide 0,1 milímetro. Si la doblamos a la mitad, el espesor de la hoja doblada se duplica a 0,2 mm. Volvamos a doblarla a la mitad y el espesor vuelve a duplicarse: ahora tenemos un espesor de 0,4 mm. Sigamos doblando a la mitad y vamos a tener 0,8 mm y luego 1,6 mm. Es decir que después de 4 dobleces el espesor creció de 0,1 milímetro a casi 1 milímetro y medio. ¿Parece muy poco, no? ¿qué pasaría si siguiéramos doblando la hoja 10 veces más?

-Voy haciendo la cuenta...

- Los y las lectoras pueden hacer la cuenta en sus casas: hay que seguir multiplicando por 2, por 2, por 2, 10 veces. Esto da un total de 1638,4 milímetros, es decir, medido en metros, el espesor sería de más de un metro y medio. ¿Cómo puede ser? ¡Cualquiera que se haya puesto a doblar papelitos sabe que no es posible que en su mano quede algo de la altura de una persona! ¿Falla la matemática? No, la matemática no está fallando, lo que sucede es que en la práctica es imposible doblar un papel a la mitad más de 9 veces. Independientemente del tamaño del papel, alguien puede estar pensando ¿y si agarro un rollo de papel higiénico? ¡Tampoco! Ni siquiera un rollo de papel higiénico extendido podrán doblarlo a la mitad más de 9 veces.

-¿Cómo se aplica esto al coronavirus?

- En la Argentina estamos viendo que la cantidad de personas infectadas que informa el Ministerio de Salud se duplica aproximadamente cada tres días. Es decir que si hoy hay 500 personas infectadas, en 3 días habrá mil y en seis días habrá 2 mil. ¿Cuántas habrá en 30 días? ¡El número sería elevadísimo!

Pero no entremos en pánico, el modelo exponencial permitió predecir que esto ocurriría si no se tomaba ninguna medida, y el gobierno estableció un aislamiento obligatorio. En los próximos días es muy probable que la cantidad de infectados continúe duplicándose cada 3 días, pero luego se sentirá el efecto de la cuarentena, y el ritmo de crecimiento de la población infectada debería comenzar a reducirse. Por eso es tan importante que respetemos el aislamiento y las medidas de higiene.

                                                              (Crédito del gráfico: Roberto Ben)

- Además se utilizan otros modelos matemáticos.

- Sí. Como comentaba al principio, la función exponencial explica bien cómo es la propagación de una enfermedad en la etapa inicial de contagio, pero a largo plazo no es un buen modelo. Como dijimos antes, una hoja de papel, por más extensa que sea, no vamos a poder doblarla a la mitad más de 9 veces. Algo similar, aunque por distintas razones, ocurre con la propagación del coronavirus, no puede duplicarse indefinidamente la población de infectados. Entonces, hay otros modelos que dan una mejor predicción que el modelo exponencial, como por ejemplo, la ecuación logística, o el modelo SIR. Estos modelos se ajustan mejor, por ejemplo, a lo que se está viendo hoy en China o en Corea del Sur, donde la cantidad de infectados comienza con un crecimiento exponencial y luego se va amesetando. En Italia, que hoy es uno de los países en situación más crítica, se cree que se podría estar entrando en esa etapa de decrecimiento de la cantidad de nuevos casos. Estos son modelos basados en ecuaciones diferenciales, pero hay muchos otros: modelos estadísticos, modelos de simulación computacional, etc.

La mayoría de los modelos matemáticos para explicar y predecir el comportamiento de brotes epidémicos comenzaron a desarrollarse hace muchos años. La ecuación logística, por ejemplo, fue desarrollada en 1838 por Pierre Francois Verhulst para explicar el crecimiento de una población biológica, mientras que el modelo SIR, hizo su aparición a principios del siglo XX. En este modelo las letras S, I y R son las variables, la S representa los casos susceptibles, la I los infectados y la R los recuperados.

“El modelo SIR es más preciso que el modelo exponencial (sobre todo después de la fase inicial de contagio) porque tiene en cuenta, por ejemplo, que la cantidad de personas susceptibles de contagiarse va disminuyendo a medida que transcurre el tiempo”, explica Ben y aclara: “Ningún modelo representa la realidad de forma exacta. La cantidad de variables que entran en juego en la situación real es infinita. Cada modelo tiene en cuenta ciertas variables, que son las que considera que tienen un mayor peso en la situación real. Además es bueno remarcar que cuando el contexto es tan dinámico y complejo, como es el caso de la propagación del coronavirus, donde cada Estado toma decisiones diferentes y cambiantes, la globalización juega un papel tan importante, el virus va mutando, etc.; no hay un modelo único que permita determinar lo que ocurrirá”.

- Se pueden modelar las características de un brote, pero ¿cómo se modela el comportamiento humano, por ejemplo, que la gente se quede en sus casas cumpliendo con el aislamiento social?

- A esto me refería cuando decía que la situación real es dinámica, cambiante. Se dice que en situaciones normales, es decir, sin aislamiento social, el ritmo inicial de propagación de la enfermedad es 2.2. Pero está comprobado que reduciendo al máximo la circulación de las personas infectadas ese ritmo de propagación baja mucho. Y también está comprobado que la presión social induce a la gente a quedarse en su casa. Hay un grupo en la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA que hoy está investigando precisamente la propagación conjunta de estos dos procesos: el epidemiológico (la infección) y el social (la decisión de confinarse o no). La comunidad científica está estudiando y aprendiendo en tiempo real, pero posiblemente los resultados de este experimento mundial no planificado sirvan para prevenir mejor futuras pandemias.

-Y para cerrar, ¿es correcto afirmar que la matemática “pronostica” o “predice” determinados fenómenos?

- Diría que sí “idealmente”. Por ejemplo, si lanzamos una bolita en el vacío, la ecuación de Newton que modela la caída es muy conocida, y predice con una exactitud formidable el recorrido de la bolita. Inclusive si complejizamos este fenómeno lanzando la bolita desde lo alto de un edificio, considerando la fricción con el aire, se puede modelar con una ecuación apenas más sofisticada, y la precisión del modelo sigue siendo excelente.

Pero otros fenómenos, como los sistemas sociales que involucran decisiones y acciones de miles de millones de personas; los fenómenos macroscópicos y microscópicos físico-químicos; o, por ejemplo, la predicción del clima, son tan complejos que la matemática puede apenas darnos herramientas para analizarlos y sacar conclusiones cualitativas o proveernos algunas predicciones probabilísticas. Es quizás esta complejidad la que hace tan interesante y apasionante a la modelización matemática, y la que nos exige que sigamos investigando para generar herramientas que nos permitan entender mejor el mundo y la realidad.